exponentielles Wachstum – am Fallbeispiel COVID-19


Der Begriff „exponentielles Wachstum“ ist aufgrund der aktuellen Situation in aller Munde. Ich habe mir mal die Mühe gemacht die COVID-19 Problematik am Beispiel Deutschland rechnerisch durchzuspielen.

Als Rechenmodell wurde eine typische Exponentialfunktion zugrunde gelegt, wie man sie aus dem Schulunterricht kennt.

Der erste Tag, an dem die Zahl der bestätigten Infektionen die Zahl 100 überschritten hat wurde als Startzeitpunkt gewählt.

  • t steht hierbei für die Anzahl der Tage ab dem definierten Startzeitpunkt
  • Am 01.03. wurde die Gesamtzahl der bestätigten Fälle mit 117 gemeldet. Dementsprechend steht der Zeitpunkt t=0 für den 01.03. und der Anfangswert wurde mit a=117 festgelegt.
  • Die Wachstumsrate b wurde rechnerisch anhand der bis zu gestrigen Tag veröffentlichen Zahl von bestätigten Infektionen in Deutschland bestimmt (Stand 20.03.2020).

Hinweis:
Ich werde die Funktion hier anhand der neu veröffentlichen Fallzahlen regelmäßig aktualisieren und es jeweils entsprechend anmerken.
(Letzte Aktualisierung am 20.03.20)

Folgende Grafik zeigt die bestätigten Infektionszahlen im Vergleich zu den Infektionszahlen, die sich aus dem Rechenmodell ergeben.
Wir sehen, dass sich tatsächlich seit dem gewählten Startzeitpunkt bis zum heutigen Tag eine recht gute Näherung der Modellfunktion (orange) an die tatsächlichen bestätigten Fälle (blau) ergibt.

Vergleich der Modellfunktion mit bestätigten COVID-19 Fällen in DE (Stand 20.03.2020)

Wenn wir diese ermittelte Wachstumsfunktion verwenden, um den Verlauf der nächsten Tage und Wochen hochzurechnen, ergeben sich folgende Diagramme:

Hochrechnung der COVID-19 Fälle in Deutschland in DE (Stand 20.03.2020)
Hochrechnung der COVID-19 Fälle in Deutschland in DE (Stand 20.03.2020)

Legt man also diese einfache mathematische Funktion von exponentiellem Wachstum zugrunde, wäre das Thema bis ca. 20.04. in Deutschland so oder so durch. Dann wäre die Bundesrepublik mit etwa 82,8 Mio Einwohnern theoretisch einmal komplett durchinfiziert.

Hierbei ist allerdings zu beachten, dass die Modellfunktion nur den Zahlen der gemeldeten Infektionen angenähert wurde. Wir wissen ja, dass nicht flächendeckend getestet wird und viele gar keine bis schwache Symptome zeigen.
Es dürfte also noch eine (nicht unwesentliche) Dunkelziffer von Infizierten oder evtl. sogar schon längst wieder Geheilten geben, die in dieser Rechnung nicht berücksichtigt wurden.

Wenn wir also davon ausgehen, dass alle infizierten wirklich (zumindest temporäre) Immunität aufbauen (was ja der aktuelle Konsens ist). Dann sollte sich spätestens Mitte April eine natürliche Sättigung bemerkbar machen. Die Zahl der Neuinfektionen wird somit ab einem bestimmten Zeitpunkt automatisch zurückgehen und die tatsächliche Kurve wird abflachen. Die Modellierung des tatsächlichen Verlaufes ist mit dieser einfachen Exponentialfunktion ab einem bestimmten Zeitpunkt somit nicht mehr sinnvoll.

Ich möchte noch dazu anmerken, dass dies keine pro oder kontra Ausgangssperre Betrachtung ist. Was es für das Gesundheitssystem bedeutet, wenn das ganze Land einmal durchinfiziert ist, kann und will ich nicht beurteilen.

Auch was die Anzahl der Fälle mit schwerem Krankheitsverlauf oder sogar Todesfälle betrifft, lässt sich aktuell rechnerisch noch schwer modellieren. Dazu fehlt einfach noch eine zuverlässige Datenbasis.

Quelle der bestätigten Fallzahlen: https://interaktiv.morgenpost.de/corona-virus-karte-infektionen-deutschland-weltweit/

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