A simple Math Test – Do you know the answer?

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Als ich diese Woche auf Facebook stöberte, fiel mir in einer Gruppe ein Beitrag auf, der rege diskutiert wurde. Eine zunächst simpel anmutende Rechenaufgabe mit den Grundoperatoren und einer Klammer führte bei den Usern zu unterschiedlichen Ergebnissen.

Kurz nachdem auch ich das Bild mit der Aufgabe als Facebook Beitrag geteilt hatte, trudelten schon die ersten unterschiedlichen Lösungen ein. Wenn ihr auf das Bild klickt, kommt ihr direkt zum Beitrag und könnt die entsprechenden Kommentare lesen.

Ähnliche Aufgaben werden in diversen Mathematik-Foren diskutiert. Teilweise wird argumentiert, dass ein so formulierter Term nicht eindeutig ist. Es leuchtet mir ein, dass die Schreibweise unglücklich gewählt ist. Ich rate  meinen Schülern beim Aufstellen von Termen und  Gleichungen grundsätzlich dazu, auf das Divisionszeichen zu verzichten und stattdessen einen  Bruchstrich zu verwenden. Dann erübrigen sich nämlich die unten genannten Probleme von selbst.

Wenn man aber die Operatoren Schritt für Schritt abarbeitet und sich dabei an die mathematischen Konventionen hält, führt das meiner Meinung nach auch mit obiger Schreibweise zu einem eindeutigen Ergebnis. Gerne lasse ich mich jedoch eines Besseren belehren, wenn jemand andere Informationen hat.

Mathematische Konventionen

Ganz offensichtlich ist hier entscheiden, in welcher Reihenfolge man die einzelnen Rechenoperationen durchführt. Rechnungen in Klammern haben immer Vorrang. Danach gibt es in der Mathematik eine Konvention, in welcher Reihenfolge gerechnet werden muss. Diese sogenannte Operatorrangfolge ist folgendermaßen festgelegt:

Operatorrangfolge in der Mathematik

  1. Potenzierung
  2. Multiplikation und Division
  3. Addition und Subtraktion

Operatorassoziativität

Weiter unterscheidet man zwischen linksassoziativen und rechtsassoziativen Operatoren, um das Vorgehen bei gleichrangigen aufeinander folgenden Oparatoren fest zu definieren

linksassoziativ

  • Bei gleichrangigen aufeinander folgenden linksassoziativen Operatoren erfolgt die Rechnung von links nach rechts.
  • Beispiele für linksassoziative Operatoren sind die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
a + b + c = (a + b) + c
a \cdot b \cdot c = (a \cdot b) \cdot c
a \cdot b \div c = (a \cdot b) \div c
a - b - c = (a - b) - c
a \div b \div c=(a \div b) \div c
a \div b \cdot c = (a \div b) \cdot c

rechtsassoziativ

  • Bei gleichrangigen aufeinander folgenden rechtsassoziativen Operatoren erfolgt die Rechnung von rechts nach links.
  • Ein geläufiges Beispiel für rechtsassoziative Operatoren ist die Potenzierung
a^{b^c} = a^{(b^c)}

Weglassen von Multiplikationszeichen

Generell kann ein Multiplikationszeichen in folgenden Fällen weggelassen werden.

  • zwischen einer Zahl und einer Variablen
    2 \cdot x = 2x
  • zwischen zwei Variablen
    a \cdot b = ab 
  • vor Klammern
    a \cdot (2+b) = a(2+b)      5 \cdot (x-3) = 5(x-3)

In einigen Mathematikforen wird diskutiert, ob das Weglassen des Multiplikationszeichens in folgendem Fall dazu führt, dass die 2 der Klammer “enger verbunden” ist, als dem vorangehenden Divisionszeichen:

12 \div 2(5-2)

Das würde nämlich die Linksassoziativität aufheben und zu einem anderen Ergebnis führen. Ich konnte bisher jedoch keine Konvention finden, die besagt, dass sich durch Weglassen des Multiplikationszeichens etwas an der Priorität ändert. Falls jemand dazu andere Informationen hat, darf er sie mir aber natürlich gerne mit Quellenangabe nennen.

Zu unserer Aufgabe

Wenden wir also obige Konventionen auf den Term an, der in der Aufgabenstellung lautet:

12 \div 2(6-7+4)\times 2

Das weggelassene Multiplikationszeichen zwischen der Zahl und der Klammer hat (wie oben beschrieben) keinen Einfluss auf die Abfolge der Operatoren. In der Umkehrung können wir es also auch wieder einfügen ohne dass sich etwas am Ergebnis ändert:

12 \div 2 \times (6-7+4)\times 2

Vorrang hat in jedem Fall die Berechnung innerhalb einer Klammer:

= 12 \div 2 \times 2 \times 2

Jetzt haben wir nur noch eine Division und 2 Multiplikationen im Term. Diese sind mit der gleichen Rangfolge eingestuft. Da es sich jeweils um linksassoziative Operatoren handelt, wird also jetzt von links nach rechts gerechnet:

=6 \times 3 \times 2
= 18 \times 2
= 36

Was sagen Mathematikprogramme / Taschenrechner?

  • Das Mathematikprogramm Geogebra liefert ebenfalls 36 als Lösung
  • Das CAS wxMaxima lässt das Weglassen des Multiplikationszeichens vor der Klammer nicht zu – eine elegenate Möglichkeit das Problem zu umgehen
  • Der Taschenrechner TI-84 Plus liefert 36 als Lösung
  • Der Taschenrechner fx-991DE X fügt einfach eine Klammer um den Ausdruck 2(6-7+4) ein und liefert dann natürlich für den so entstandenen Ausdruck das Ergebnis 12:(2(6-7+4))x2)=4 – Auch eine Möglichkeit das Problem zu umgehen, allerdings gefällt mir das Verhalten von wxMaxima da eindeutig besser. Ich halte es für kritisch, wenn die Nutzereingabe ungefragt verändert wird, um eine Eindeutigkeit zu erzwingen.

Nachtrag 26.04.2018

Ich habe bei Casio eine freundlich Anfrage gestellt, woraus begründet ist, dass der Rechner fx-991DE X eine Klammer ergänzt und dadurch die Rangordnung verändert. Hier meine Anfrage:

Guten Tag,

wenn man in den Taschenrechner folgenden Ausdruck eingibt:

12:2(6-7+4)x2

dann ergänzt der Rechner automatisch eine Klammer um den Ausdruck 2(6-7+4) und liefert als Ergebnis für den gesamten Term die Zahl 4
Wird dies in allen Casio Rechnern so gehandhabt?

Durch welche mathematische Konvention ist begründet, dass die Multiplikation der 2 mit dem Klammerausdruck Vorrang vor der Division hat?
Ich konnte trotz Recherche keine Quelle finden, die besagt, dass durch das weglassen des Multiplikationszecihens die Priorität der Operatoren beeinflusst wird. Gibt es dazu eine Quelle?

Einige CAS Programme (Bsp.: wxMaxima) umgehen das Problem elegant, indem sie die Eingabe ohne Multiplikationszeichen zwischen Zahl und Klammer nicht akzeptieren und Syntax-Error ausgeben.

Andere Taschenrechner (Bsp.: TI-84 plus) und Matheprogramme (Bsp.: Geogebra) liefern für den selben Ausdruck die Lösung 36, die ich nach meinem Kenntnissstand ebenfalls befürworten würde.

Sollte dieser Fall in der Mathematik tatsächlich nicht eindeutig definiert sein, halte ich das ungefragte Hinzufügen einer Klammer für gefährlich. besser ist in diesem Fall die Meldung eines Syntax Error. Die Nutzereingabe sollte auf keinen Fall ohne Rückfrage verändert werden. Erst recht nicht, wenn dadurch ein nicht eindeutig bestimmter Ausdruck auf einmal eindeutig bestimmt wird.

Da ich gerade einen Blogeintrag über diese Aufgabe schreibe, freue ich mich über konstruktive Rückmeldung, die ich gerne in den Artikel mit einbringen würde.

Vielen Dank im Voraus
Sascha Füller

Die Antwort kam am nächsten Werktag und lautete folgendermaßen:

Sehr geehrter Herr Füller,

vielen Dank für Ihre Anfrage und das unseren Produkten entgegen gebrachte Interesse! Anbei die Antwort auf Ihre Anfrage.

Bei der Operation 2(6-7+4) handelt es sich um ein abgekurztes Multiplikationszeichen, das ein höheres Rang verglichen mit normaler Multiplikation hat. Damit liefern die folgenden Eingaben unterschiedliche Ergebnisse.

12:2(6-7+4)x2
12:2x(6-7+4)x2

Lesen Sie bitte die ausführliche Antwort in unteren Zeilen.

Bei den neueren wissenschaftlichen Rechnern von Casio wie z.B. die DEX, DE PLUS Serien, gibt es zwei Arten von Multiplikationen mit unterschiedlicher Rangfolge.
Zusätzlich zu der herkommlichen Multiplikation, die mit zugehöriger Taste eingegeben wird, gibt es die abgekürzte Form ohne jegliches Zeichen zwischen Argumenten (Zahl und Funktion oder Klammer). Einige Beispiele für diese abgekürzte Form sind 2(3+4), 4Pi, 5Sin45.

Falls Sie eine Reihe mit mehreren Operationen eingeben, werden die Operationen nach ihrer Rangfolge ausgeführt. Nun hat die abgekürzte Form einen höheren Rang verglichen mit Multiplikation und Division und wird daher zuerst ausgeführt.

Es ist daher sehr wichtig, dass Sie sich diesen Unterschied merken und die agekürzte Form gezielt einsetzen.

Die folgenden Beispiele zeigen die Unterschiedliche:

– 2/2Pi ist nicht gleich 2/2*Pi
Bei dem Ersten wird zuerst 2Pi als eine Multiplikation ausgewertet und das Ergebnis aus 2/(2Pi) berechnet. Das Ergebnis bei dem Ersten ist 0,318 und bei dem Zweiten 3,14

– 2/2Sin45° ist nicht gleich 2/2*Sin45°
Das Ergebnis aus dem Ersten ist 1,414, während das Zweite 0,707 liefert.

– 3/4(1+2) ist nicht gleich 3/4*(1+2)
Die Ergebnisse sind 0,25 und 2,25

Die Bedienungsanleitung Ihres Taschenrechners zeigt unter Rangfolge der Operationen die Reihenfolge der Ausführung der Operationen.
In der BDA von fx-991DE + ist auf S. G-9 die Rangfolge der Operationen gezeigt. An siebter Stelle kommt diese abgekürzter Form der Multiplikation und an 9. Stelle kommen die Multiplikation und Division.

Da es sich hierbei nicht um einen Fehler sondern um eine Eigenschaft handelt, gibt es kein Update zur Behebung dieser Eigenschaft. Solches Update wird auch in Zukunft nicht erwartet.

Mehr Informationen zu wissenschaftlichen Rechnern von Casio finden Sie auf der unten genannte Seite:
http://www.casio-schulrechner.de/

Für weitere Fragen stehen wir Ihnen gern zur Verfügung.

Eine klare Aussage, dass es sich um eine allgemein geltende mathematische Regelung handelt, wird damit nicht getroffen. Die Aussage “Da es sich hierbei nicht um einen Fehler sondern um eine Eigenschaft handelt, gibt es kein Update zur Behebung dieser Eigenschaft.” klingt es  mir danach, als hat man es bei Casio einfach so definiert.   Die Konsequenz ist eigentlich, dass man  bei Taschenrechnern allgemein lieber das Multiplikationszeichen schreiben und die ein oder andere zusätzliche Klammer setzen sollte, um die Reihenfolge der Berechnung vorzugeben.

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